Ableitung

Die Ableitung ist ein fundamentales Konzept in der Mathematik, insbesondere in der Differentialrechnung. Sie beschreibt die Änderungsrate einer Funktion an einem bestimmten Punkt. Die Ableitung einer Funktion wird oft als oder dargestellt.

Die Definition der Ableitung lautet:

Diese Definition bedeutet, dass die Ableitung von an der Stelle gleich dem Grenzwert des Quotienten der Differenz von und durch ist, wenn gegen Null strebt.

Für Polynom-Funktionen kann die Ableitung direkt berechnet werden. Die allgemeine Regel für die Ableitung eines Polynoms lautet:

Das bedeutet, dass die Ableitung eines Terms, der eine Variable (in diesem Fall ) mit einem Exponenten (in diesem Fall ) multipliziert, gleich dem Produkt des Exponenten und der Variable mit dem Exponenten minus eins ist.

Zum Beispiel wäre die Ableitung von nach dieser Regel:

Extermstellen

Extremstellen sind Punkte, an denen eine Funktion ihr lokales Maximum oder Minimum erreicht. Sie können durch die Ableitung einer Funktion identifiziert werden.

Maximum

Ein Punkt ist ein lokales Maximum der Funktion , wenn die Ableitung der Funktion an diesem Punkt gleich Null ist und die zweite Ableitung an diesem Punkt kleiner als Null ist:

Minimum

Analog dazu ist ein Punkt ein lokales Minimum der Funktion , wenn die Ableitung der Funktion an diesem Punkt gleich Null ist und die zweite Ableitung an diesem Punkt grösser als Null ist:

Sattelpunkt

Ein Sattelpunkt ist ein Punkt, an dem die erste Ableitung der Funktion gleich Null ist, aber die Funktion kein lokales Maximum oder Minimum hat. Dies geschieht, wenn die zweite Ableitung der Funktion an diesem Punkt gleich Null ist:

Diese Bedingungen sind jedoch nicht ausreichend, um einen Sattelpunkt zu bestimmen. Es kann sein, dass und , aber ist kein Sattelpunkt. Um sicher zu sein, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt, muss eine höhere Ordnungsableitung oder eine alternative Methode verwendet werden. Ein häufig verwendeter Test ist der zweite Ableitungstest.

Zweite Ableitungstest

Der zweite Ableitungstest ist eine Methode zur Bestimmung, ob ein kritischer Punkt (ein Punkt, an dem die erste Ableitung gleich Null ist) einer Funktion ein Maximum, ein Minimum oder ein Sattelpunkt ist.

Der Test besagt:

Wenn und , dann hat die Funktion an der Stelle ein lokales Minimum.
Wenn und , dann hat die Funktion an der Stelle ein lokales Maximum.
Wenn und , dann gibt der Test keine Auskunft. Der Punkt könnte ein Sattelpunkt sein oder auch nicht.

Daher kann die Art eines kritischen Punktes durch den zweiten Ableitungstest bestimmt werden.