Differenzierbarkeit

Differenzierbarkeit ist ein zentrales Konzept in der Analysis und bezieht sich auf die Fähigkeit, die Ableitung einer Funktion zu bestimmen. Eine Funktion ist an einer Stelle differenzierbar, wenn der Grenzwert

existiert. Dieser Grenzwert, falls er existiert, wird als die Ableitung der Funktion an der Stelle bezeichnet.

Betrachten wir zum Beispiel die Funktion . Wir wollen wissen, ob diese Funktion an der Stelle differenzierbar ist. Die Ableitung von an der Stelle ist gegeben durch

Wenn wir diesen Ausdruck vereinfachen, erhalten wir

Da dieser Grenzwert existiert und gleich 4 ist, können wir sagen, dass die Funktion an der Stelle differenzierbar ist und ihre Ableitung an dieser Stelle gleich 4 ist.

Es sollte angemerkt werden, dass nicht alle Funktionen an allen Punkten differenzierbar sind. Beispielsweise sind Funktionen mit Sprungstellen oder Knicke nicht differenzierbar an diesen Punkten.