Die Hessematrix (oder Hessian) ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, die aus den zweiten Ableitungen einer Funktion besteht. Sie ist benannt nach dem deutschen Mathematiker Otto Hesse und spielt eine wesentliche Rolle in der mehrdimensionalen Analysis, insbesondere bei der Untersuchung von Extremwerten von Funktionen.
Angenommen, wir haben eine Funktion
Beachten Sie, dass für hinreichend glatte Funktionen die Reihenfolge der Ableitungen keine Rolle spielt (d. h.,
Als Beispiel betrachten wir die Funktion
Und die zweiten partiellen Ableitungen (Partielle Ableitung) sind:
Daher ist die Hessematrix von
Aus dieser Hessematrix können wir rauslesen, dass die zweite Ableitung der Funktion an einer bestimmten Stelle in Bezug auf verschiedene Variablen besteht. Die Hessematrix ist eine quadratische Matrix, die aus den zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion besteht. Sie ist besonders nützlich bei der Untersuchung der Krümmung einer Funktion und bei der Bestimmung, ob ein kritischer Punkt ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt ist.
Die Diagonalelemente der Hessematrix geben die Krümmung der Funktion in Bezug auf die einzelnen Variablen an. Positive Werte deuten auf eine konvexe (nach oben gekrümmte) Form hin, während negative Werte auf eine konkave (nach unten gekrümmte) Form hindeuten.
Die ausser diagonalen Elemente der Hessematrix geben die gemischten zweiten Ableitungen an. Diese zeigen, wie sich die Steigung der Funktion ändert, wenn man zwei Variablen gleichzeitig ändert.
Wenn alle Eigenwerte der Hessematrix positiv sind, handelt es sich um ein lokales Minimum. Wenn alle Eigenwerte negativ sind, handelt es sich um ein lokales Maximum. Wenn die Eigenwerte sowohl positive als auch negative Werte haben, handelt es sich um einen Sattelpunkt.
Es ist zu beachten, dass diese Interpretationen nur für Funktionen gelten, die zweimal stetig differenzierbar (Differenzierbarkeit) sind und deren Hessematrix an dem betrachteten Punkt definit ist.