Reihen und Folgen

Eine Folge ist eine Funktion, die jeder natürlichen Zahl eine reelle Zahl zuordnet. Die Zahlen werden als die Elemente oder Glieder der Folge bezeichnet. Die natürliche Zahl wird als der Index des entsprechenden Elements bezeichnet.

Eine Folge kann auf verschiedene Weisen definiert werden, z. B. durch eine explizite Formel für , durch eine rekursive Beziehung zwischen den Gliedern, oder durch ihre Eigenschaften.

Beispiel für eine explizit definierte Folge ist die arithmetische Folge . Hier ist jedes Glied das Doppelte seines Index plus eins.

Eine Reihe ist die Summe einer unendlichen Folge von Zahlen. Sie wird oft in der Form geschrieben, wobei die Glieder einer gegebenen Folge sind.

Nicht alle Reihen konvergieren (Konvergenz) zu einem endlichen Wert. Eine notwendige Bedingung dafür, dass eine Reihe konvergiert (Konvergenz), ist, dass die Glieder der zugrunde liegenden Folge gegen null konvergieren.

Beispiel für eine konvergierende Reihe (Konvergenz) ist die geometrische Reihe . Hier beträgt jedes Glied das halbe vorherige Glied und die Reihe konvergiert (Konvergenz) zu 2.

Reihen und Folgen finden Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik wie Analysis, Stochastik oder Zahlentheorie. Sie sind auch grundlegend für viele Konzepte in Physik und Ingenieurwissenschaften.

Einige wichtige Eigenschaften von Folgen und Reihen sind:

• Monotonie: Eine Folge ist monoton steigend, wenn jedes Glied grösser oder gleich dem vorherigen ist. Sie ist monoton fallend, wenn jedes Glied kleiner oder gleich dem vorherigen ist.

• Beschränktheit: Eine Folge ist nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, die grösser oder gleich jedem Glied der Folge ist. Sie ist nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, die kleiner oder gleich jedem Glied der Folge ist.

• Konvergenz: Eine Folge konvergiert gegen eine Zahl a, wenn die Abstände zwischen den Gliedern der Folge und a beliebig klein werden können. Eine Reihe konvergiert (Konvergenz) gegen eine Summe S, wenn die Partialsummen immer näher an S herankommen.

Folgen und Reihen werden in vielen Bereichen angewendet. In der Analysis werden sie beispielsweise verwendet, um Funktionen zu approximieren oder Grenzwerte zu berechnen. In der Stochastik werden sie verwendet, um Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte zu berechnen. In der Zahlentheorie werden sie verwendet, um Eigenschaften von Zahlen zu untersuchen.

Ein praktisches Beispiel für die Anwendung von Reihen ist die Berechnung von Zinsen bei einer kontinuierlichen Verzinsung. Hierbei wird die Formel verwendet, wobei P das Anfangskapital, r der Zinssatz und t die Zeit in Jahren ist. Die Konstante e kann als Summe einer unendlichen Reihe dargestellt werden: .

Reihen und Folgen grundlegende Werkzeuge in der Mathematik und den angrenzenden Wissenschaften und spielen eine wichtige Rolle beim Verständnis von komplexeren Konzepten und Phänomenen.