Konvergenz

Eine Folge von reellen Zahlen heisst konvergent, wenn es eine reelle Zahl gibt, so dass für jede noch so kleine positive Zahl ab einem bestimmten Index alle weiteren Folgenglieder in dem Intervall liegen. Formal ausgedrückt:

Die Zahl wird als Grenzwert oder Limes der Folge bezeichnet und mit oder kurz für notiert.

Die Folge konvergiert gegen 0, da für jedes ein existiert (hier: ), so dass für alle :

• Jede konvergente Folge ist beschränkt.
• Eine beschränkte Folge in ist genau dann konvergent, wenn sie eine konvergente Teilfolge hat.
• Jede monotone und beschränkte Folge ist konvergent.
• Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt.

Konvergenz ist ein zentrales Konzept in vielen Bereichen der Mathematik. Hier sind einige Beispiele:

• Analysis: In der Analysis wird das Konzept der Konvergenz verwendet, um die Grenzwerte von Funktionen und Reihen zu bestimmen. Es spielt auch eine wichtige Rolle bei der Untersuchung der Stetigkeit von Funktionen.

• Numerische Mathematik: In der numerischen Mathematik wird die Konvergenz verwendet, um die Genauigkeit und Stabilität von numerischen Verfahren zu analysieren.

• Differentialgleichungen: Bei Differentialgleichungen wird die Konvergenz verwendet, um zu beweisen, dass eine Lösung existiert und eindeutig ist.

• Stochastik: In der Stochastik wird das Konzept der Konvergenz verwendet, um das Verhalten von Zufallsvariablen und stochastischen Prozessen zu analysieren.

• Optimierung: In der Optimierung wird die Konvergenz verwendet, um zu zeigen, dass ein Algorithmus eine Lösung findet oder sich einer Lösung annähert.