Eigenwerte

Gegeben sei eine quadratische Matrix (Matrizen) und ein Vektor (Vektoren) . Wenn es einen Skalar gibt, sodass

gilt, dann wird als Eigenwert von bezeichnet und als zugehöriger Eigenvektor.

Die Eigenwerte einer Matrix können durch Lösung der charakteristischen Gleichung gefunden werden. Diese Gleichung ist definiert als:

Wo die Einheitsmatrix ist und die Determinante bezeichnet. Die Lösungen dieser Gleichung sind die Eigenwerte von .

Einige wichtige Eigenschaften von Eigenwerten sind:

1. Die Summe aller Eigenwerte einer Matrix entspricht ihrer Spur (die Summe der Diagonalelemente).

2. Das Produkt aller Eigenwerte entspricht der Determinante der Matrix.

3. Eine Matrix ist invertierbar genau dann, wenn kein Eigenwert Null ist.

4. Die Anzahl der unterschiedlichen Eigenwerte einer Matrix ist höchstens gleich ihrer Dimension.

5. Wenn eine reelle quadratische Matrix symmetrisch ist, dann sind alle ihre Eigenwerte reell.

Eigenwerte und -vektoren haben viele praktische Anwendungen in verschiedenen Feldern:

• In Maschinellem Lernen und Datenanalyse werden sie verwendet, um hochdimensionale Daten auf niedrigere Dimensionen zu reduzieren (z.B. Principal Component Analysis).
• In der Computergrafik werden sie verwendet, um Transformationen wie Skalierung, Rotation und Scherung darzustellen.

In Python kann man die Bibliothek NumPy verwenden, um die Eigenwerte einer Matrix zu berechnen. Hier ist ein einfaches Beispiel:

import numpy as np

# Definiere eine 2x2 Matrix
A = np.array([[4, 1], [2, 3]])

# Berechne die Eigenwerte
eigenvalues = np.linalg.eigvals(A)

print('Die Eigenwerte der Matrix A sind:', eigenvalues)
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In diesem Code wird die Funktion np.linalg.eigvals verwendet, um die Eigenwerte der Matrix zu berechnen. Das Ergebnis ist ein Array, das die Eigenwerte enthält.