Matrixnormen

Matrixnormen (Matrizen) sind eine Erweiterung des Konzepts der Vektornormen auf Matrizen. Sie werden in der numerischen Mathematik verwendet, um die "Grösse" oder den "Abstand" von Matrizen zu messen. Es gibt verschiedene Arten von Matrixnormen, aber die am häufigsten verwendeten sind die Frobenius-Norm und die Spektralnorm.

Die Frobenius-Norm einer Matrix ist definiert als die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente in . Sie ist eine Verallgemeinerung der euklidischen Norm für Vektoren und kann wie folgt berechnet werden:

wobei das Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte von ist.

Die Spektralnorm (oder 2-Norm) einer Matrix ist das Maximum über alle Singulärwerte von . Die Singulärwerte einer Matrix sind die Wurzeln aus den Eigenwerten ihrer Gram-Matrix (das Produkt von und seiner konjugierten Transponierten). Die Spektralnorm kann wie folgt berechnet werden:

wobei das i-te Singulärwert von ist.

In Python können Matrixnormen mithilfe der numpy.linalg.norm() Funktion berechnet werden. Zum Beispiel:

import numpy as np

# Erstelle eine 3x3 Matrix
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

# Berechne die Frobenius-Norm
frobenius_norm = np.linalg.norm(A)
print(f"Frobenius Norm: {frobenius_norm}")

# Berechne die Spektralnorm
spectral_norm = np.linalg.norm(A, ord=2)
print(f"Spectral Norm: {spectral_norm}")
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Die 1-Norm einer Matrix , auch bekannt als die SSpaltensamennorm ist die maximale Summe der absoluten Werte in jeder Spalte von . Sie kann wie folgt berechnet werden:

wobei das Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte von ist.

Die unendlich-Norm einer Matrix , auch bekannt als die Zeilensummennorm, ist die maximale Summe der absoluten Werte in jeder Zeile von . Sie kann wie folgt berechnet werden:

In Python können diese Normen ebenfalls mit der numpy.linalg.norm() Funktion berechnet werden. Zum Beispiel:

import numpy as np

# Erstelle eine 3x3 Matrix
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

# Berechne die 1-Norm
one_norm = np.linalg.norm(A, ord=1)
print(f"1-Norm: {one_norm}")

# Berechne die unendlich-Norm
inf_norm = np.linalg.norm(A, ord=np.inf)
print(f"Infinity Norm: {inf_norm}")
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Matrixnormen sind ein wichtiges Werkzeug in vielen Bereichen der angewandten Mathematik und Informatik, einschliesslich maschinellem Lernen und Datenanalyse. Sie ermöglichen es uns, numerische Algorithmen zu analysieren und zu verstehen und können uns helfen zu beurteilen, wie "gross" oder "klein" eine Matrix im Vergleich zu anderen Matrizen ist.