Die Hauptkomponentenanalyse (Principal Component Analysis, PCA) ist ein Verfahren der multivariaten Statistik. Sie dient dazu, die Struktur grosser Datensätze zu vereinfachen und zu visualisieren. Dabei wird versucht, die wichtigsten Merkmale des Datensatzes hervorzuheben und weniger wichtige Merkmale zu ignorieren.
Die Hauptkomponentenanalyse basiert auf der linearen Algebra und der Statistik. Sie verwendet die Eigenvektoren und Eigenwerte einer Kovarianzmatrix oder Korrelationsmatrix, um die Hauptkomponenten des Datensatzes zu bestimmen.
Die erste Hauptkomponente ist die Richtung im Datenraum, in der die Daten am meisten variieren. Die zweite Hauptkomponente ist orthogonal zur ersten und repräsentiert die Richtung der zweitgrössten Varianz. Dies wird für alle weiteren Komponenten fortgesetzt.
Mathematisch ausgedrückt kann dies als folgt dargestellt werden:
Gegeben sei eine Menge von
wobei
Die PCA findet Anwendung in vielen Bereichen wie z.B. Maschinelles Lernen, Bildverarbeitung oder Genomik. Sie kann zum Beispiel zur Reduktion der Dimensionalität von Daten genutzt werden, um Overfitting zu vermeiden oder um den Rechenaufwand zu reduzieren.
In Python kann man PCA mit Hilfe der Bibliothek scikit-learn` durchführen:
from sklearn.decomposition import PCA
pca = PCA(n_components=2)
principalComponents = pca.fit_transform(x)
Die Hauptkomponentenanalyse hat viele Vorteile. Sie kann helfen, die Struktur von komplexen Datensätzen zu verstehen und die wichtigsten Merkmale hervorzuheben. Ausserdem kann sie dazu beitragen, die Dimensionalität von Daten zu reduzieren und so den Rechenaufwand zu verringern.
Allerdings hat die PCA auch einige Nachteile. Sie geht davon aus, dass die Daten normalverteilt sind und dass lineare Beziehungen zwischen den Variablen bestehen. Wenn diese Annahmen nicht erfüllt sind, kann die PCA zu irreführenden Ergebnissen führen. Zudem können die interpretierbaren Hauptkomponenten in der Praxis oft schwer zu interpretieren sein.